赌徒谬论:大数定律的错误应用

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摘要

1913年8月18日,在摩纳哥的蒙特卡洛赌场,红黑色轮盘赌桌的最后10次旋转中,球都落在了黑色上。人们认为下一次旋转肯定是落在红色上,于是来自整个赌场的赌徒开始在红色上押注。随着轮盘的每一次转动结果都是黑色,人群越来越相信下一轮将是红色的。但最后黑色又连续出现了16次,总共连续 出现了26次黑色,发

1913年8月18日,在摩纳哥的蒙特卡洛赌场,红黑色轮盘赌桌的最后10次旋转中,球都落在了黑色上。人们认为下一次旋转肯定是落在红色上,于是来自整个赌场的赌徒开始在红色上押注。随着轮盘的每一次转动结果都是黑色,人群越来越相信下一轮将是红色的。但最后黑色又连续出现了16次,总共连续 出现了26次黑色,发生这种情况的概率约为6600万分之一。赌徒损失了数百万法郎,因为他们成为赌徒谬论的牺牲品。

如果那天你在蒙特卡洛赌场,你会赌红色还是黑色?在本文中,我们将看到赌徒们到底哪里出了问题,以及他们如何以正确的思维避免惊人的损失。首先,让我们从抛硬币开始讲起。

我们都知道,当我们抛硬币的时候,它会有50%的机会朝上,同样也会有50%的机会朝下。现在,我抛出硬币,显示的是正面,我又连续抛出3次硬币,也都是正面朝上。四次正面朝上的几率是十六分之一或6.25%,如果再一次抛出硬币,很多人可能会认为这次出现反面的机会更高。如果是这样想,那就落入了赌徒谬误,他们认为独立的过去事件会影响同一随机实验中独立的未来事件。

但这是严重错误的,这枚硬币不会记忆住最后几次的翻转,在下一次翻转中获得正面或反面的机会仍然是二分之一。抛硬币是所谓统计独立的,每个事件都独立于之前和未来的事件。我们倾向于认为机会是自我纠正的,或者必须有一个宇宙平衡,所以才会落入赌徒谬论。

事实上,这种宇宙平衡的信念并不像听起来的那么愚蠢。如果我们抛硬币的次数足够多,我们就会开始看到一些非常有趣的东西。1939年,一位名叫J.E Kerrich的南非数学家去欧洲旅行,但最终被关进了丹麦的监狱,出于好奇或纯粹的无聊,他将一枚硬币抛了一万次并记录了它落在正面的次数。结果显示,抛硬币的次数越多,正面的相对频率就越来越接近50%。

现代人生活节奏非常快,没有足够的空闲时间抛硬币10000次,但我们可以用计算机进行模拟。并且每次模拟我们都能看到相同的模式,正面出现的相对频率总是在50%左右。这不仅仅是硬币的一个特征,对于骰子它落在每个面上的几率是六分之一或16.67%。如果我们投掷10000次的骰子,我们会发现每个面出现的相对频率接近于16.67%。

这种现象称为大数定律,我们所做的试验越多,结果的相对频率就越接近于事件的概率。单次翻转硬币出现正面的概率为50%,并且在足够多次的翻转之后,正面出现的相对频率约为50%。这使我们有一种感觉:似乎是机会在自我纠正,存在某种宇宙平衡。

因此,一方面我们具有统计独立性,这告诉我们每一轮都与上一轮无关,赌徒错误地认为过去的结果会影响未来的结果的。但另一方面,我们有大数定律,它告诉告诉我们机会系统最终确实会平衡。所以,赌徒们期望在长时间的黑色之后出现红色似乎是正确的。那么我们如何才能调和这两个看似矛盾的想法?

它被称为大数定律是有原因的,我们只有在经过大量试验后才能看到这种一致性或平衡性。小样本量通常显示出极大的可变性,它更有可能连续看到26次黑色。这种现象最著名的例子之一来自比尔·盖茨基金会所做的一项研究。

该基金会研究了学校的教育成果,发现小型学校总是位居榜首,由此推断小型学校会导致更好的教育。该基金会将小型学校技术应用于大型学校,例如减少班级规模和降低师生比例,但这些方法未能产生他们所希望的巨大收益。因为基金会忽略了一个关键的事情,排名垫底的学校也是小学校。并不是小学校表现更好,而是小学校的考试成绩变化更大。一些神童可以使小学校的平均水平显着上升,而在大学校中,这些极端分数会融入更大的平均数中,几乎不会产生多少影响。

轮盘赌桌上连续出现的26次黑色,只是一系列数百万次旋转中相对较短的连续性。赌徒们所犯的错误是,将小样本量视为与大样本量相同,但事实上它们之间的差异非常大,这么小的样本量无法遵守大数定律。

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